Kuantum mekaniğinde bir sistemin durumu (örneğin bir fotonun polarizasyonu) bir durum vektörüyle anlatılır. Klasik bilgi sınırsız kopyalanabilir; bir dosyayı çoğaltmak aslını bozmaz. Soru şudur: hangi durumda olduğunu bilmediğimiz bir kuantum sistemin, aslı bozulmadan birebir kopyasını çıkaran bir cihaz yapılabilir mi? Wootters ve Zurek ile Dieks'in aynı yıl yayımlanan yazıları, kuramın kendi kurallarından böyle bir cihazın olamayacağını gösterir. Bu sonuç, kuantum şifreleme ve hata düzeltme gibi konuların ön koşuludur.
Bu sayfada11. No-Cloning (Kopyalanamazlık) · Wootters 1982 — A single quantum cannot · Dieks 1982 — Communication by EPR device …
Bilinmeyen bir kuantum durumunu kopyalayan bir cihazın kuantum mekaniğinin doğrusallığıyla çelişeceğini gösteren iki sayfalık kısa yazı.
Yazının sorusu şudur: hangi durumda olduğunu bilmediğimiz tek bir kuantum sistemimiz varsa, onu ölçüp bozmadan, aynı durumda ikinci bir sistem hazırlayabilir miyiz? Klasik dünyada bu sıradan bir işlemdir; bir kâğıdı fotokopi makinesine koyarız. Yazarlar bunun kuantum durumlar için genel olarak mümkün olmadığını gösterir.
Temel fikir kuramın doğrusallığıdır. Kuantum mekaniğinde bir sistemin zaman içindeki değişimi, durumların toplamına (süperpozisyonuna) uygulandığında her bileşene ayrı ayrı uygulanıp sonuçların toplanmasına eşit olan bir kurala uyar. Bir kopyalama cihazı düşünelim: "0" durumunu verirsek iki tane "0", "1" durumunu verirsek iki tane "1" çıkarsın. Doğrusallık gereği, "0 ile 1'in süperpozisyonu" verildiğinde cihazın çıktısı "00 ile 11'in süperpozisyonu" olur. Oysa gerçek bir kopya, süperpozisyonun kendisinin iki nüshasıdır; bu ikisi farklı durumlardır. Yani aynı cihaz hem iki ayrı temel durumu hem de onların karışımlarını doğru kopyalayamaz.
Sonuç şöyle okunur: bir cihaz, önceden bilinen ve birbirinden kesin olarak ayırt edilebilen (birbirine dik) durumlardan birini kopyalayabilir; ama bilinmeyen keyfî bir durumu kopyalayamaz. Böyle bir kopyalama mümkün olsaydı, bir durumu tek bir sistemde ölçerek öğrenmenin sınırları aşılabilirdi. Yazı kısadır; teoremi ayrıntılı bir cihaz modeli olmadan, yalnızca doğrusallık argümanıyla sunar.
Sonucun kapsamını doğru okumak önemlidir: yasak olan, keyfî ve bilinmeyen bir durumun kusursuz kopyasıdır. Durumun yaklaşık kopyalarını üretmek ya da bilinen bir durumu istendiği kadar hazırlamak yasak değildir; çünkü ikincisinde zaten durumun ne olduğu biliniyordur. Aynı şekilde, bir kübitin durumunu başka bir sisteme taşımak (ilk sistem bozularak) kopyalama değildir.
Bu özet makalenin kendi özetine ya da metnine bakılmadan, bilinen bir anlatıma dayanarak yazıldı; kaynağa bakarak gözden geçirilmelidir.
Sonra: Dieks aynı yıl bağımsız olarak benzer bir sonuç yayımladı. Kopyalanamazlık sonraki yıllarda kuantum anahtar dağıtımının ve kuantum hata düzeltmenin tasarımında temel kısıt olarak kullanıldı.
Wootters–Zurek ile aynı yıl, bağımsız olarak, EPR düzeneklerinin iletişim için kullanılıp kullanılamayacağını doğrusallık gerekçesiyle ele alan kısa yazı.
Yazının başlığı ("EPR düzenekleriyle iletişim") sorunu verir: iki parçacığın ortak (dolaşık) durumundaki bağıntılar, gönderici ile alıcı arasında bilgi taşımak için kullanılabilir mi? Bu sorunun cevabı, bilinmeyen bir kuantum durumunu çoğaltabilen bir cihazın olup olmadığına bağlanır.
EPR düzeneği, Einstein, Podolsky ve Rosen'in 1935'te tartıştığı türden dolaşık parçacık çiftleri üreten bir kurulumdur. Böyle bir çiftin iki parçası uzaktan ayrı ayrı ölçüldüğünde sonuçlar birbiriyle bağıntılıdır. Bu bağıntının, ölçümü yapan kişi tarafından uzaktaki kişiye ışıktan hızlı mesaj göndermek için kullanılıp kullanılamayacağı sorusu, yazının çıkış noktasıdır.
Dieks'in yaklaşımı kuramın doğrusal yapısından hareket eder. Bir ölçüm ya da kopyalama düzeneği durumlar üzerinde doğrusal bir işlem olarak yazıldığında, bilinmeyen bir durumu kopyalayan bir cihaz süperpozisyonlar üzerinde çelişkiye düşer. Bu, Wootters ve Zurek'in aynı yıl yayımladığı sonuçla aynı gerekçedir; iki yazı birbirinden bağımsız ortaya çıkmıştır.
Yazının önemi, kopyalanamazlığı yalnızca matematiksel bir ayrıntı olarak bırakmayıp, EPR bağıntılarının mesaj taşımadığı sorusuyla ilişkilendirmesindedir. Kopyalama mümkün olsaydı, uzaktaki taraf kendi parçacığının kopyalarını ölçerek karşı tarafın ölçüm seçimini ayırt edebilirdi; kuantum mekaniği bunu mümkün kılmaz.
Bu yazının ve Wootters–Zurek yazısının ortak noktası, sonucun bir deneyden değil, kuramın matematiksel yapısından çıkmasıdır. Dolayısıyla kopyalanamazlık, teknolojik bir yetersizlik değil, kuramın kendisinin bir sonucudur. Kopyalamanın yasak olması, kuantum bilginin klasik bilgiden hangi bakımdan ayrıldığını gösteren ilk temel örneklerden biri olarak anılır.
Bu özet makalenin kendi özetine ya da metnine bakılmadan, bilinen bir anlatıma dayanarak yazıldı; kaynağa bakarak gözden geçirilmelidir.
Sonra: Wootters–Zurek ve Dieks sonuçları birlikte kopyalanamazlık teoremi adıyla anılır.
12. Kuantum Teleportasyon
Ana soru: Bir kuantum durumu taşınabilir mi?
Kuantum durumu kopyalanamıyorsa bir yerden başka yere göndermek nasıl mümkün olur? Teleportasyon, gönderen ile alıcının önceden paylaştığı dolaşık bir parçacık çiftini ve olağan bir haberleşme kanalını kullanarak, bilinmeyen bir kuantum durumunu bir yerde yok edip başka bir yerde yeniden kurma yöntemidir. Aktarılan şey bilgidir; madde ya da enerji taşınmaz. Konu iki makaleyle ele alınır: yöntemi öneren 1993 tarihli kuramsal yazı ve ilk deneysel gösterimlerden biri.
Bir kuantum durumunu, ortak bir dolaşık çift ve klasik bir haberleşme kanalıyla aktaran yöntemi öneren yazı.
Soru, bilinmeyen bir kuantum durumunu, durumu önceden öğrenmeden ve onu taşıyan parçacığı göndermeden, uzaktaki bir alıcıya aktarmanın mümkün olup olmadığıdır. Yazarlar bunun mümkün olduğunu bir yöntemle gösterir.
Yöntemde iki kişi vardır: gönderen (Alice) ve alıcı (Bob). Önceden iki parçacık, Einstein, Podolsky ve Rosen'in (EPR) ele aldığı türden dolaşık bir çift olarak hazırlanır; biri Alice'e, öbürü Bob'a verilir. Alice, aktarmak istediği bilinmeyen durumu taşıyan parçacığı ve kendi EPR parçacığını birlikte ölçer. Bu ortak ölçümün dört olası sonucu vardır. Alice sonucu sıradan bir kanaldan, örneğin telefonla, Bob'a bildirir. Bob, kendi parçacığına bildirilen sonuca karşılık gelen işlemi uygular ve parçacığı Alice'in başlangıçtaki durumunun birebir kopyası olur.
Yazının özetinde söylendiği gibi, bilinmeyen durum önce "saf klasik bilgiye ve saf kuantum, EPR bağıntılarına" ayrıştırılır, sonra bunlardan yeniden kurulur. Alice'in ortak ölçümü elindeki orijinal durumu yok eder; dolayısıyla kopyalanamazlık ilkesi ihlal edilmez, aynı durum aynı anda iki yerde bulunmaz. Bob, klasik haberi almadan önce parçacığında yalnızca rastgele görünen bir durum bulur; bu nedenle düzenek, ışıktan hızlı iletişim sağlamaz.
Burada akılda tutulacak ayrım şudur: Bob'un parçacığı, Alice'in durumuna ancak klasik haber geldikten ve düzeltme uygulandıktan sonra eşitlenir. Klasik haber ışıktan hızlı gidemeyeceği için, aktarım hızı bu kanalın hızıyla sınırlıdır. Ayrıca yöntem, durumu önceden bilmeyi gerektirmez; Alice de durumu öğrenmez.
Sonra: Yöntem sonraki yıllarda kuantum ağlarında ve kuantum hesaplamada kapı uygulamaları için kullanılan bir yapı taşı oldu.
Teleportasyon önerisinin ilk deneysel gösterimlerinden biri: fotonların polarizasyon durumlarının aktarılması.
Bu yazı, 1993 önerisinin laboratuvarda gerçekleştirilip gerçekleştirilemeyeceği sorusuna yanıt arar. Deney fotonlarla yapılır: aktarılacak durum bir fotonun polarizasyonudur, dolaşık çift ise özel bir kristalde üretilen foton çiftidir.
Düzenekte, Alice'in yaptığı ortak ölçüm, iki fotonun bir ışın ayırıcıda buluşturulup ayrı ayrı yakalanmasına dayanır. Bu ölçüm, dört olası sonuçtan yalnızca birini ayırt edebilir; yani teleportasyon her denemede tamamlanmaz, yalnız ilgili sonuç alındığında tamamlanır. Bob'un tarafındaki fotonun polarizasyonu ölçülür ve aktarılması hedeflenen durumla uyumu denetlenir.
Yazarlar, aktarılan durumların Bob'un tarafında beklenen polarizasyonla uyumlu çıktığını raporlar. Yazının ortaya koyduğu şey, durumun fiziksel olarak aktarılabildiğine dair deneysel bir gösterimdir. Bu gösterimde dört sonucun hepsi ayırt edilmediği için aktarım yalnız seçilmiş deneme alt kümesinde tamdır; bu, düzeneğin sınırı olarak okunmalıdır.
Bu özet makalenin metnine bakılmadan, konunun bilinen çerçevesi içinde yazılmıştır; ayrıntılar bakımından makalenin kendisine dönmek gerekir.
Teleportasyon, deneylerde bir ışık, madde ya da enerji nakli değil, bir durumun başka bir parçacığa yazılmasıdır. Bu nedenle bu tür deneylerin ölçütü, hedef parçacığın ölçüm istatistiklerinin kaynak durumla uyuşmasıdır. Yazının ayrıntıları (ışın ayırıcı, kristal, ölçüm sonuçları) için makalenin kendisine bakılmalıdır. Bu tür bir gösterimde karşılaştırma ölçütü, aktarılan durumun ölçüm istatistiklerinin kaynak durumun istatistikleriyle örtüşmesidir; tek bir ölçüm sonucu bunu göstermez, birçok denemenin dağılımı gerekir.
Bu özet makalenin kendi özetine ya da metnine bakılmadan, bilinen bir anlatıma dayanarak yazıldı; kaynağa bakarak gözden geçirilmelidir.
Sonra: Sonraki deneylerde aktarım mesafesi ve başarı oranı artırıldı; ayrıntılar bu dosyadaki yazıların kapsamı dışındadır.
13. Kuantum Kriptografi (BB84)
Ana soru: Mutlak güvenli iletişim mümkün mü?
İki kişi birbirini hiç görmemiş olsa bile, bir dinleyicinin öğrenemeyeceği ortak bir gizli anahtar oluşturabilir mi? Klasik şifrelemelerin çoğu bir matematik problemi zor diye güvenlidir. Bennett ve Brassard'ın 1984 önerisinde güvenlik, kuantum sistemi ölçmenin onu değiştirmesi ilkesine dayanır: bir dinleyici fotonlara bakarsa iz bırakır. Konu listesinde "BB84" olarak geçen bu yazı seçilmiştir.
IEEE Int. Conf. on Computers, Systems and Signal Processing, Bangalore, 1984; yeniden basım: Theoretical Computer Science 560 (2014) 7–11 kuram
Polarize fotonlarla gizli anahtar dağıtımını (BB84 protokolü) ve kuantum yazı-tura atmayı öneren yazı.
Yazının çıkış noktası şudur: polarize fotonlar gibi temel kuantum sistemleriyle sayısal bilgi taşındığında, belirsizlik ilkesi, geleneksel ortamlarda olmayan kriptografik olanaklar doğurur. Özellikle, ölçüm sistemi bozduğu için, iletim kanalını dinleyen biri yüksek olasılıkla fark edilir.
Protokolde gönderen (Alice) her biti bir foton üzerinden, rastgele seçtiği iki "tabandan" biriyle kodlar; örneğin dikey–yatay polarizasyon ya da 45° çapraz polarizasyon. Alıcı (Bob) hangi tabanın kullanıldığını bilmediği için her foton için rastgele bir taban seçerek ölçer. Doğru taban seçildiğinde sonuç Alice'in bitidir; yanlış seçildiğinde sonuç rastgele çıkar. Sonra iki taraf, sıradan ve dinlemeye açık bir kanaldan yalnızca hangi tabanları seçtiklerini karşılaştırır, bitleri değil; tabanları uyuşan fotonların bitleri anahtarı oluşturur.
Bir dinleyici (Eve) fotonları ölçüp ileri gönderirse, yanlış tabanda ölçtüğü fotonlarda durumu bozar. Alice ile Bob anahtarlarının bir kısmını açıkça karşılaştırıp beklenenden fazla hata olup olmadığına bakar; hata varsa anahtarı atarlar.
Yazı ayrıca kuantum mesajlaşmayla "yazı-tura atma" protokolü sunar. Özette, bu protokolün geleneksel hile türlerine karşı, sınırsız hesap gücü olan bir rakibe karşı bile güvenli olduğu söylenir. Yazarlar, ironik biçimde, protokolün EPR olgusu kullanılarak bozulabileceğini de belirtir.
Protokolün gücü şuna dayanır: dinleyici hangi tabanın kullanıldığını bilmediğinden, durumu ne bozmadan ne kopyalayarak öğrenebilir. Bu nedenle kopyalanamazlık ilkesi, protokolün güvenlik gerekçesinin yapı taşıdır. Gerçek cihazlarda foton kaynağının ve algılayıcının kusurları ayrıca ele alınması gereken bir konudur.
Sonra: Yazının kendi özetinde yazı-tura protokolünün EPR olgusuyla bozulabileceği kaydedilir. Anahtar dağıtımının biçimsel güvenlik çözümlemeleri bu dosyanın kapsamı dışındadır.
14. Dolaşıklık Entropisi ve Dolaşıklığın Ölçülmesi
Ana soru: Dolaşıklık nasıl ölçülür?
Dolaşıklık, bir bütünün parçalarının ayrı ayrı anlatılamadığı kuantum durumudur. Soru, bu "miktarın" bir sayıyla ölçülüp ölçülemeyeceğidir. Bennett ve arkadaşlarının 1996 tarihli iki yazısı bu konunun temelini atar. Biri saf (tam bilinen) durumlarda dolaşıklığın entropiyle ölçülebileceğini gösterir; öteki gürültülü (karışık) durumlarda dolaşıklığı saflaştırmanın, kuantum hata düzeltmeyle eşdeğer olduğunu gösterir. Listedeki "Bennett vd. 1996" ifadesi iki yazıyı da kapsayacak biçimde okunmuştur.
Paylaşılan saf, kısmen dolaşık çiftlerin yerel işlemlerle tam dolaşık çiftlere dönüştürülebileceğini ve oranın entropiyle belirlendiğini gösteren yazı.
Soru şudur: iki uzak gözlemcinin elinde aynı kısmen dolaşık parçacık çiftlerinden çok sayıda varsa, yalnızca kendi parçacıklarına yerel işlemler uygulayıp birbirleriyle klasik biçimde konuşarak bu dolaşıklığı daha az sayıda, ama tam dolaşık (EPR "tekli") çiftte toplayabilirler mi?
Yazarlar bunun mümkün olduğunu gösterir. Çift sayısı büyüdükçe elde edilen tam dolaşık çift sayısı, ilk durumun "dolaşıklık entropisine" yaklaşır. Dolaşıklık entropisi, durumun bir tarafın gördüğü kısmi yoğunluk matrisinin von Neumann entropisidir. Sezgisel olarak: bütün durum tam bilindiği hâlde, yalnızca kendi parçacığına bakan bir taraf için geriye ne kadar belirsizlik kaldığının ölçüsüdür. İkili tabanda hesaplanır ve birimi bittir. Tam dolaşık bir çiftin entropisi bir bittir; hiç dolaşık olmayan bir çiftin entropisi sıfırdır. Kısmen dolaşık bir çiftte bu değer ikisinin arasındadır ve çok sayıda çiftten, ortalama olarak o kadar tam çift çıkarılabilir.
Tersi de gösterilir: iki taraf klasik biçimde haberleşip yerel işlemler uygulayarak, tam dolaşık çiftleri kaynak olarak harcayıp herhangi bir saf ya da karışık dolaşık durumu üretebilir. Böylece tam dolaşık çiftler, dolaşıklık için ortak bir "para birimi" gibi işlev görür. Sonuç, dolaşıklığın saf durumlar için tek bir sayıyla ifade edilebildiği anlamına gelir.
Yazının dikkat çeken bir sonucu, saf durumlar için dolaşıklığın iki yönde de aynı sayıyla (dolaşıklık entropisiyle) ölçülmesi, yani bu durumlarda dolaşıklık "tersinir" bir kaynak gibi davranmasıdır. Karışık durumlarda ise durum daha karmaşıktır; bunu aynı grubun ikinci yazısı ele alır.
Sonra: Karışık durumlarda aynı sorunun nasıl ele alınacağı aynı yılın ikinci yazısında işlenir.
Gürültülü bir kanaldan kuantum durum göndermenin, karışık dolaşık durumlardan tam dolaşıklık ayıklamayla eşdeğer olduğunu gösteren yazı.
Bu yazı, dolaşıklığın gürültüyle karıştığı durumlarda ne yapılabileceğini inceler. İki koruma yolu karşılaştırılır: dolaşıklık saflaştırma (iki tarafın elindeki karışık durumdan az sayıda tam dolaşık çift ayıklamak) ve kuantum hata düzeltici kodlar (gürültülü bir kanaldan keyfî bir kuantum durumu bozulmadan göndermek).
Yazarlar, tek yönlü klasik haberleşmeyle çalışan bir saflaştırma yönteminin, aynı oranda çalışan bir hata düzeltici koda karşılık geldiğini ve tersinin de geçerli olduğunu gösterir. Saflaştırma klasik haberleşme gerektirir; hata düzeltme gerektirmez. Tek yönlü haberleşme eklenmesi hata düzeltme oranını artırmaz. Buna karşılık iki yönlü haberleşme hem saflaştırmayı hem hata düzeltmeyi iyileştirebilir. Örneğin yüzde elli sönümlü (depolarize eden) bir kanal, iki yönlü haberleşme varsa kuantum durum aktarımı için kullanılabilir; yalnızca tek yönlü haberleşme varsa kullanılamaz.
Yazı ayrıca, belirli bir karışık durumu yerel işlemlerle hazırlamak için gereken dolaşıklık miktarını (bugün "oluşum dolaşıklığı" denir) ele alır ve Bell tabanında köşegen durumlar için kesin bir ifade verir. Son olarak evrensel özetlemeye (hashing) dayanan bir kod ailesi ve beş bitlik, tek hatayı düzelten basit bir blok kod sunar. Yazarlar ayrıca, bir hata düzeltici kodun hatasız durumda yüksek doğrulukla çalışması koşuluna bağlı olarak, kodlayıcının çözücünün matris tersi olarak yazılabileceğini gösterir.
Yazının sonuçları, kuantum bilgi kuramının iki ayrı başlığını (dolaşıklık kuramı ve hata düzeltme) tek bir çerçevede birleştirmesi bakımından anılır. Bu özet, yazının özetindeki iddiaları aktarır; ispatların ayrıntıları makalenin kendisindedir.
Sonra: Bu yazıdaki beş bitlik kod, kuantum hata düzeltme literatüründe sıkça anılan örneklerden biridir.
15. Kuantum Hata Düzeltme
Ana soru: Gürültülü sistemlerle nasıl hesap yapılır?
Kuantum bilgi çok kolay bozulur: çevreyle her temas, durumdaki bilgiyi dağıtır (buna dekoherans denir). Klasik bilgisayarlarda hata düzeltmenin yolu bilgiyi kopyalamak ve çoğunluk oylamasıdır; kuantum durumlar kopyalanamadığı ve ölçülünce değiştiği için bu yol çalışmaz. 1995–96'da Shor ve Steane, bilgiyi birkaç fiziksel kübit üzerine yayarak hataları durumu öğrenmeden saptayıp düzeltmenin mümkün olduğunu gösterdi.
Kuantum bellekte dekoherans etkisini azaltmak için klasik hata düzeltici kodların kuantum karşılığını öneren yazı.
Yazının sorusu, kuantum hesaplamanın en büyük engellerinden birine yöneliktir: dekoherans, bir süperpozisyondaki bilgiyi bozar ve uzun hesapları imkânsız kılar. Yazar, kuantum hesaplamaya ilginin son zamanlarda hızla arttığını ve belirli hesapların kuantum mekaniğinin özellikleriyle çarpıcı biçimde hızlandırılabileceğinin fark edildiğini söyleyerek başlar.
Önerilen şema, bellekte saklanan bilgi için dekoherans etkisini azaltır. Varsayım, dekoherans sürecinin bellekteki her bir bite birbirinden bağımsız etki etmesidir. Bu durumda, klasik hata düzeltici kodların bir kuantum benzeri kullanılır. Fikir, tek bir kübitin bilgisini tek bir fiziksel kübit yerine birkaç kübitin ortak durumuna dağıtmaktır. Klasik çoğunluk oylaması işe yaramaz, çünkü kuantum durum kopyalanamaz ve doğrudan ölçülürse bozulur. Bunun yerine hata varlığı, taşınan bilginin kendisini değil, kübitler arasındaki bağıntıları yoklayan ölçümlerle (bugün "sendrom ölçümü" denir) anlaşılır. Böylece bilgi öğrenilmez, dolayısıyla bozulmaz; yalnızca hangi kübitte ne tür bir hata olduğu çıkarılır ve düzeltilir.
Yazının kendi sınırı açıktır: şema bağımsız hata varsayımına dayanır ve bellekte saklanan bilgiyi korumayı hedefler; hesaplamanın kendisinin hata toleranslı yürütülmesi bu yazının konusu değildir.
Yazı, hata düzeltmenin kuantum durumlarda da mümkün olduğunu göstermesi bakımından, kuantum hesaplamanın uygulanabilirliği tartışmasında önemli bir dönüm noktası olarak anılır. Ancak yazının özeti, bunu bir uygulama değil, bir şema olarak sunar. Okuyucu için kısa bir hatırlatma: burada "bit" sözcüğü yazının kendi kullanımıdır; bugün bellek birimi için kübit denir.
Sonra: Aynı dönemde Steane farklı bir kod yapısıyla aynı sorunu ele aldı; sonraki yıllarda hata düzeltmeyi kapı işlemleriyle birlikte hata toleranslı hâle getiren çalışmalar geldi.
Proceedings of the Royal Society A 452, 2551–2577 kuram
Çok parçacıklı girişimi klasik kodlama kuramı ışığında ele alarak kuantum hata düzeltici kodları ve sınırlarını sunan yazı.
Yazı iki şeyi birleştirir: klasik hata düzeltici kodların matematiği ve çok parçacıklı kuantum girişim. Yazar bu bağlantıyı kullanarak kuantum iletişim kanallarında ve kuantum bilgisayarlarda hata düzeltmenin nasıl yapılabileceğini açıklar ve sınırlarını değerlendirir.
Temel sonuç, kodlanabilecek bilgi miktarına bir alt ve bir üst sınır koyar. K kübitlik bilgi n kübit içine kodlanırsa, x kübitin keyfî dekoheransına karşı koruma için oran şu aralıkta olmalıdır: 1 − 2H(2x/n) değerini aşabilir, ama 1 − 2H(x/n) değerini aşamaz; burada H ikili entropi fonksiyonudur. Daha çok hatayı düzeltmek, daha çok fiziksel kübit gerektirir; oran sınırlıdır.
Yazarın vardığı sonuç şudur: kodlama uzunluğu arttıkça dekoherans etkisi üstel olarak azaltılabilir, buna karşılık gereken kaynak yalnızca çokterimli (polinom) olarak büyür. Yazar bunu, fiziksel olarak gerçekçi dekoherans düzeylerinde kuantum hesaplamanın hatalardan arınmış yürütülebileceği anlamında yorumlar; bu bir kuramsal çıkarımdır, bir cihazın gösterimi değildir.
Yöntemler aynı zamanda iletişimi gürültüden ve dinleyiciden yalıtmak için de kullanılabilir (kuantum gizlilik güçlendirme). Yazı klasik kodlama kuramının dilini kuantum duruma çevirdiği için, sonraki dönemde klasik kodlardan kuantum kod türetme yöntemlerine zemin hazırlayan yazılardan biri sayılır.
Yazının önemi, kuantum hata düzeltmenin sınırlarını sayısal olarak ortaya koyması ve hata düzeltici kodların kaynak maliyetinin yalnızca çokterimli arttığını göstermesidir. Bu, kuantum bilgisayarın ölçeklenebilirliği tartışmasının kuramsal dayanaklarından biridir. Bu sınırlar, hata türüne ve kodun yapısına bağlıdır; formüllerin geçerli olduğu koşullar makalenin metninde tanımlanır, bu özet yalnız sonucun biçimini aktarır.
Sonra: Bennett vd. 1996 yazısındaki beş bitlik kod aynı döneme aittir (bu dosyada konu 14).